1Klaus bekommt 20 Euro in Form von 6 Geldmünzen, wenn man annimmt, dass es nur 1-, 2- und 5-DM-Münzen geben würde. Wie viele Geldstücke erhält Klaus von jeweils welcher Sorte? Nun, durch Probieren hat man die Lösung ziemlich schnell heraus, aber wie wäre der mathematisch korrekte Lösungsweg? Der Lösungsansatz ist dieser:
x + 2y + 5z = 20
Blöd nur, dass es eine Gleichung mit drei Unbekannten ist, also zwei zu viel, um die Lösung(en) einfach ausrechnen zu können. Diese ist nämlich eine sogenannte "unbestimmte Gleichung" - Google-Suche.
Gegeben: x + y + z = 6 und x + 2y + 5z = 20. x ≥ 0, y ≥ 0 und z ≥ 0. [COLOR="Silver"].[/COLOR] x, y und z sind ganzzahlig.
Lösung: x + y + z = 6 => x = 6 - y - z
Für x + 2y + 5z = 20 und x = 6 - y - z ergibt sich: (6 - y - z) + 2y +5z = 20
6 + y + 4z = 20
y = 20 - 6 - 4z
y = 14 - 4z
Für x = 6 - y - z und für x ≥ 0 ergibt sich 6 - y - z ≥ 0.
Für 6 - y - z ≥ 0 und y = 14 - 4 z ergibt sich: 6 - (14 - 4z) - z ≥ 0
6 - 14 + 4z - z ≥ 0
-8 + 3z ≥ 0
3z ≥ 8
z ≥ 8/3
z ≥ 2,6666666.
Mit diesem Ergebnis, dass z = 3 oder größer ist, versucht man von y = 14 - 4z ausgehend, durch Probieren auf die richtige Lösung zu kommen, indem man für z alle möglichen Ziffern von 3 beginnend ausprobiert. In diesem Fall erhält man nur für z = 3 eine akzeptable Lösung, denn für z = 4 wäre y negativ.
Mit y = 14 - 4z ergibt sich für y der Wert 2.
Mit x + y + z = 6 => x = 6 - y - z ergibt sich x = 1