Mathematische Terme darstellungsmäßig logischer bzw. konsistenter darstellen, um Umformungen einfacher durchführen zu können; und um diese im Internet ohne spezielle Sonderzeichen darstellen zu können.

Beitrag 1435 von UFO-Peter » 31.10.2009, 00:53

Mathematische Terme darstellungsmäßig logischer bzw. konsistenter darstellen, um Umformungen einfacher durchführen zu können; und um diese im Internet ohne spezielle Sonderzeichen darstellen zu können.

Nachdem man das gut durchdachte römische Zahlensystem erdacht hatte, konnte man mit diesem lange Zeit sehr zufrieden sein. Man konnte wunderbar damit alle möglichen Zahlen bilden. Als man aber später mit diesen Zahlen rechnen wollte, zeigte sich, dass dies nur sehr schwer möglich war. Es musste ein logisch einfacheres Zahlensystem her; unter anderem das Dezimalsystem wurde erfunden.

Im Prinzip so ähnlich verhält es sich mit der Darstellung der vier Grundrechenarten Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren; und dem Potenzieren, dem Wurzel ziehen und dem Logarithmieren. Meines Erachtens ist es ziemlich schwierig bei bspw. diesen vielen Darstellungsweisen Terme zu vereinfachen, weswegen ich eine andere Darstellungsweise ersann. Diese hat auch den Vorteil, dass man sie auch problemlos in Html-Seiten darstellen kann; und es aufgrund der vereinheitlichten Darstellungslogik leichter möglich ist, entsprechende Programme bzw. Makros zu schreiben.

Natürliche Zahlen, wie bspw. 0, 1, 2 oder 3, bleiben so in der Darstellung. Mehrstellige Zahlen und Zahlen mit Kommastellen könnte man evtl. auch in der nachfolgend beschriebenen Weise darstellen. Nachfolgende Beispiele werden aber nur einstellige natürliche Zahlen enthalten. Auch negative Zahlen kann man in der von mir beschriebenen Darstellungsweise darstellen, was bei nachfolgender Beschreibung so gemacht wird.


Der Term 3 + 1 bzw. 3 + 1 = x wird so dargestellt: 1(3 1 #)

Die 1 am Anfang bedeutet, dass es sich um die Rechnung der untersten bzw. ersten Ordnung handelt, nämlich Strichrechnung; also Addition und die ggf. daraus abgeleitete Subtraktion. Es folgen die zwei Summanden 3 und 1. Anstelle des Ergebnisses dieser Addition (4), ist das Rautezeichen # gesetzt. Der Term hat den Wert, den das Rautezeichen # hat; egal wo sich dieses befindet. Wenn unzulässiger Weise anstatt des Rautezeichens # das Ergebnis 4 angegeben wäre, wäre es kein Term, sondern eine Gleichung. Aber weil das Ergebnis nicht angegeben ist, handelt es sich um die Schreibweise für einen Term.


Der Term -2 bzw. 1 - 3 bzw. 3 + x = 1 wird so dargestellt: 1(3 # 1)

Die 1 am Anfang bedeutet auch hier Strichrechnung. Es folgen der ersten Summand 3, der unbekannte zweite Summand # und das Ergebnis 1. Dieser Term hat auch hier den Wert, den das Rautezeichen # symbolisiert, nämlich -2. Im Gegensatz zum vorigen Term ist der zweite Summand nicht bekannt, wodurch eine Subtraktion dargestellt wird.


Der Term -2 bzw. 0 - 2 bzw. 2 + x = 0 wird so dargestellt: 1(2 # 0)

Auch auf diese einfachere Weise kann man negative Zahlen darstellen, ohne das Minuszeichen verwenden zu müssen. Weil es aber einfacher ist, ein Minuszeichen zu verwenden, werden bei allen nachfolgenden Beschreibungen negative Zahlen mit Minuszeichen dargestellt.



Um Multiplikationen (mal) und Divisionen (teilen)
darzustellen, also Punktrechnung, kann man nachfolgende von mir erfundene Darstellungsweise anwenden.


Der Term 6 bzw. 2 x 3 bzw. 2 x 3 = x wird so dargestellt: 2(2 3 #)

Die 2 bedeutet, dass es sich um die Rechenart zweiter Ordnung handelt, also Multiplikation (mal) und Division (teilen), also Punktrechnung. Es folgen die zwei Faktoren 2 und 3. Anstelle des Ergebnisses dieser Multiplikation (6), ist das Rautezeichen # gesetzt. Der Term hat den Wert, den das Rautezeichen # hat; egal wo sich dieses befindet. Wenn unzulässiger Weise anstatt des Rautezeichens # das Ergebnis 6 angegeben wäre, wäre es kein Term, sondern eine Gleichung. Aber weil das Ergebnis nicht angegeben ist, handelt es sich um die Schreibweise für einen Term.


Der Term 2 bzw. 6 : 3 bzw. der Bruch sechs Drittel bzw. x mal 3 = 6 wird so dargestellt: 2(# 3 6)

Die 2 bedeutet, dass es sich um die Rechenart zweiter Ordnung handelt, also Multiplikation (mal) und Division (teilen), also Punktrechnung. Es folgt der erste unbekannte Faktore #, der zweite Faktor 3 und das Ergebnis 6.


Der Term 3 bzw. 6 : 2 bzw. der Bruch sechs Halbe bzw. 2 mal x = 6 wird so dargestellt: 2(2 # 6)

Die 2 bedeutet, dass es sich um die Rechenart zweiter Ordnung handelt, also Multiplikation (mal) und Division (teilen), also Punktrechnung. Es folgt der erste Faktore 2, der zweite unbekannte Faktor # und das Ergebnis 6.



Um Potenzen, bspw. 2³ (2 hoch 3), Wurzeln, bspw. √4 (2. Wurzel bzw. Quadratwurzel aus 4), und Logarithmen darzustellen, kann man nachfolgende von mir erfundene Darstellungsweise anwenden.


Der Term 9 bzw. 3² (3 hoch 2) bzw. 3² = x wird so dargestellt: 3(3 2 #)

Die 3 bedeutet, dass es sich um die Rechenart dritter Ordnung handelt, also Potenzen , Wurzeln und Logarithmen. Es folgt die Basis 3 und der Exponent 2. Anstelle des Ergebnisses dieser Potenz (9), ist das Rautezeichen # gesetzt. Der Term hat den Wert, den das Rautezeichen # hat; egal wo sich dieses befindet. Wenn unzulässiger Weise anstatt des Rautezeichens # das Ergebnis 9 angegeben wäre, wäre es kein Term, sondern eine Gleichung. Aber weil das Ergebnis nicht angegeben ist, handelt es sich um die Schreibweise für einen Term.


Der Term 3 bzw. √9 (Wurzel aus 9) bzw. x² = 9 (x hoch 2 gleich 9) wird so dargestellt: 3(# 2 9)

Die 3 bedeutet, dass es sich um die Rechenart dritter Ordnung handelt, also Potenzen , Wurzeln und Logarithmen. Es folgt die unbekannte Basis #, der Exponent 2 und das Ergebnis dieser Potenz 9. Der Term hat den Wert, den das Rautezeichen # hat.


Der Term 2 bzw. log₃ 9 (Logarithmus 9 zur Basis 3) bzw. 3 hoch x = 9 wird so dargestellt: 3(3 # 9)

Die 3 bedeutet, dass es sich um die Rechenart dritter Ordnung handelt, also Potenzen , Wurzeln und Logarithmen. Es folgt die Basis 3 und der unbekannte Exponent #. Anstelle des Exponenten dieser Potenz 2), ist das Rautezeichen # gesetzt.



1. Zahlenmengen. Rechnen mit ganzen Zahlen, Brüchen, Klammern und Binomischen Formeln

Menge der natürlichen Zahlen: N = { 0, 1, 2, 3. ... }

Menge der ganzen Zahlen: Z = { ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

Beispiele:

(-5) + 3 = 3 + (-5) = 3 - 5 = -2

3 - (-5) = 3 + 5 = 8

3 x (-5) = -15

(-3) x (-5) = 15

(-6) : 2 = -3

6 : (-2) = -3

(-6) : (-2) = 3

-(-5 + 2) = 5 - 2 = 3

-(5 - 2) = -5 + 2 = -3


Menge der Gebrochenen Zahlen G

G = { 0, 1:1, 1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6, 1:7, 1:8, 1:9, 2:1, 2:2, 2:3, ... }

oder

G = { a : b } b ungleich 0 (Null). a > 0, b > 0


Menge der Rationalen Zahlen Q (Quotient)

Q = { ... -2:3, -2:2, -2:1, -1:9, -1:8, -1:7, -1:6, -1:5, -1:4, -1:3, -1:2, -1:1, 0, 1:1, 1:2, 1:3, 1:4, 1:5, 1:6, 1:7, 1:8, 1:9, 2:1, 2:2, 2:3, ... }

oder

Q = { a : b } b ungleich 0 (Null)

a - Zähler
b - Nenner


Code: Alles auswählen
        a
a : b = - = 2(b # a)
        b


Code: Alles auswählen
    3   2 x 3
2 x - = ----- = 2(2 2(5 # 3) #) = 6 : 5
    5     5



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